Home | Problema dei buoi | Paradosso di Zenone | Conigli Fibonacci | Asino e mulo

Fin dall’antichità i rompicapo logici, come i paradossi, e le risoluzioni di particolari situazioni
problematiche legate alla vita quotidiana hanno rappresentato delle vere e proprie disfide di matematica.
La disfida più leggendaria è quella che Archimede propose ai matematici alessandrini, inviando al matematico Eratostene in una lettera, sotto forma di epigramma, il problema dei buoi.
Archimede di Siracusa (287-212 a.C.), il genio universale, aveva studiato in Alessandria, centro culturale del mondo ellenistico frequentato dai più celebri studiosi di ogni ramo del sapere, tra cui Euclide e i suoi allievi: questi ultimi probabili maestri di Archimede. Dopo il suo ritorno a Siracusa mantenne i contatti con il mondo accademico alessandrino attraverso lo scambio di problemi con i più grandi matematici.
Archimede ha sempre stupito gli studiosi del suo tempo per le geniali intuizioni e invenzioni, ma, proponendo il problema dei buoi li mise in difficoltà.
Per secoli del problema dei buoi di Archimede si era perduta traccia fino a quando, nel 1773 Lessing ne annuncia il ritrovamento e ne pubblica una sua versione.
Testo originale del problema dei buoi.
Traduzione dei 47 versi che costituiscono il problema dei buoi.

Il problema dei buoi di Archimede consisteva nel calcolare la composizione della mandria dei buoi che il dio Sole faceva pascolare nella Trinacria, Sicilia, ossia nel determinare il numero di buoi bianchi, pezzati, neri e fulvi, note certe relazioni tra i buoi di ogni singolo colore.
Il modello matematico che traduce, ad un primo livello, il problema è rappresentato da un sistema lineare costituito da 7 equazioni in 8 incognite, indicando con x, y, z, t, rispettivamente il numero di tori: bianchi, neri, bruni, chiazzati e con x', y', z', t' quello delle corrispondenti giovenche. Video problema dei buoi

Il sistema è indeterminato e ammette infinite soluzioni.
Risolvendo il sistema costituito dalle prime tre equazioni con risolutore automatico e riducendo le soluzioni allo stesso denominatore si ha:

Per ottenere soluzioni intere “per non dover uccidere alcun animale e dover incorrere nelle ire del dio Sole come accadde ai compagni di Ulisse”, in questo caso si mostrerebbe, dice Archimede “di non essere inabili in materia di numeri”, si pone

da cui

Applicando il metodo di sostituzione nelle rimanenti quattro equazioni, si determinano le altre soluzioni con il risolutore automatico.
Ma "per essere sapienti", aggiunge Archimede, "occorre determinare il valore di p in modo che siano verificate ulteriori condizioni:

Imporre al problema le due ulteriori condizioni:
- valori interi per le incognite, in modo che la somma sia un numero quadrato;
- valori interi per le incognite, in modo che la somma   sia un numero trangolare;
significa risolvere l’equazione di Pell – Eulero

Nel problema dei buoi il valore di d corrisponde a 4729494, e la soluzione minima dell’equazione , ossia nell’insieme , è rappresentata da un numero di oltre duecentomila cifre. Sorprendente come mandria di buoi!

Osservazioni

• Il problema dei buoi è ritenuto il più complesso problema algebrico dell’antichità: la sua risoluzione completa, ossia comprensiva dei due ulteriori vincoli - i tori bianchi e quelli neri disposti come un quadrato; i tori bruni e quelli chiazzati disposti in forma triangolare - richiede cognizioni algebriche, sia nei contenuti che nel simbolismo, notevoli e ricercate rispetto a quelle note nel tempo di Archimede. L’ipotesi più probabile avanzata da alcuni storici della matematica è che Archimede, il massimo scienziato dell’antichità, abbia evidenziato un approccio all’analisi indeterminata, pervenendo alla soluzione dell’equazione di Pell-Eulero, attraverso generalizzazioni di alcuni procedimenti già noti, che consentivano l’approssimazione di particolari radici quadrate;
• Lo storico Loria, al termine dell'analisi del problema ,afferma: Da quanto precede risulta che il problema di Archimede merita di essere ascritto fra i più belli che annoveri la letteratura aritmetica, così bello che non ci sovviene alcuno che lo superi per eleganza di forma e valore di sostanza. Esso è difficile assai, ma chi può arrogarsi il diritto di negare ad un genio originale e potente, qual era il Siracusano, la capacità di concepirlo e risolverlo?".
• Le disfide di matematica, nei tempi antichi, non sono state un fatto puramente agonistico o folcloristico ,ma hanno fornito, a volte, documenti preziosi alla storia della matematica, e sottolineato importanti punti di svolta del pensiero matematico;
• Il problema dei buoi è un problema “aperto”, ossia utilizzando computer più potenti e software più sofisticati,si potrebbe ottenere una soluzione diversa da quella determinata nel 1965.

Home | Su