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Sistemi
lineari
Un sistema
lineare di n equazioni in m incognite è un sistema
del tipo
dove
 sono
i coefficienti delle incognite e
i termini noti.
Una soluzione del
sistema è una m-upla di numeri reali che soddisfa tutte le equazioni
del sistema.
Risolvere un sistema significa determinare le soluzioni.
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Un sistema è omogeneo se
tutti i termini noti sono nulli;
un sistema è
determinato se ammette una soluzione;
un sistema è indeterminato se
ammette infinite soluzioni;
un sistema è impossibile se non ammette
soluzioni;
un sistema è
compatibile se ammette una soluzione o infinite soluzioni;
un sistema è
incompatibile se non ammette soluzioni. |
Un sistema lineare
può essere espresso in notazione
matriciale
A·X= B
La risoluzione
del sistema è fornita da due teoremi classici:
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Teorema di Cramer
Un sistema è
risolvibile con il metodo di Cramer se sono soddisfacenti le
seguenti condizioni:
- il
numero di equazioni sia uguale al numero delle incognite;
- il determinante della matrice dei coefficienti, D, sia diverso
da zero
La soluzione si ottiene dividendo per il determinante della matrice dei
coefficienti, D, i determinanti ottenuti da D
sostituendo, rispettivamente nella 1° colonna, nella 2° e
nell'ennesima colonna, la colonna dei termini noti. |
Teorema di Rouchè Capelli:
condizione necessaria sufficiente affinchè un
sistemi lineare di n equazioni in m incognita ammetta soluzioni è
che la matrice completa e incompleta abbiano la stessa
caratteristica. |
Osservazioni
Sistemi di n
equazioni in n incognite:
- se
D ≠ 0 il sistema è determinato e si risolve con il teorema di
Cramer;
- se
D = 0 si applica il teorema di Rouchè Capelli e se:
- la
caratteristica della matrice incompleta è uguale a
quella della matrice completa il sistema è indeterminato
e ha
 soluzioni;
- se la matrice completa e quella incompleta hanno
caratteristiche diverse, il sistema è impossibile
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Sistemi
di n equazioni in m incognite:
-
se la matrice completa e quella incompleta hanno
caratteristiche diverse, il sistema è impossibile;
-
se la caratteristica della matrice incompleta è uguale a
quella della matrice completa,il sistema ha:
- una soluzione se il numero delle incognite è uguale
alla caratteristica;
-  soluzioni
se la caratteristica è minore del numero delle incognite
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Teorema di Cramer-Leibiniz: un
sistema, n equazioni in n incognite, con determinante della matrice dei
coefficienti diverso da zero, è compatibile e ammette una soluzione.
Il valore di ciascuna incognita è data da una frazione avente
per numeratore il determinante della matrice ottenuta sostituendo,
nella matrice dei coefficienti, la colonna dei termini noti alla
colonna dei coefficienti dell'incognita cercata, e per
denominatore i determinante della matrice dei coefficienti
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