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La perpetua corsa di Achille e della tartaruga
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Il
paradosso, per definizione, è una proposizione formulata
in apparente contraddizione con l’esperienza comune o con i
principi elementari della logica, ma che all’esame critico
si dimostra valida.
Come impostazione di ragionamento, il paradosso è stato
molto spesso utilizzato, fin dai tempi antichi, per
dimostrare tesi apparentemente assurde che richiedevano una
spiegazione più complessa di un normale procedimento logico.
Zenone, filosofo del V secolo a. C., e fervido
sostenitore della teoria “monista”
di un tutto immobile, enunciò il noto paradosso di
Achille e la tartaruga: ”Il velocissimo Achille ed una
tartaruga si sfidano ad una gara di corsa. Achille non
raggiungerà mai la tartaruga, se questa ha un vantaggio, pur
minimo, su di lui”.
Aristotele descrive così il paradosso: “il più
lento (la tartaruga) non sarà raggiunto dal più
veloce (Achille) perché l’inseguitore dovrà passare per il
luogo che l’inseguito ha appena abbandonato”.
Secoli dopo, Borges riprese il paradosso,
vivacizzandolo: ”Achille, simbolo di rapidità, deve
raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre
10 volte più veloce della tartaruga, per cui, per rendere la
contesa meno impari, le concede 10 metri di vantaggio.
Mentre Achille percorre quei dieci metri, la tartaruga
percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga
percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la
tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel
centimetro, la tartaruga percorre un millimetro, e così via
all’infinito; pertanto Achille può correre sempre senza mai
raggiungere la tartaruga”.
Secondo la tesi, Achille impiegherebbe un tempo infinito per
percorrere gli infiniti spazi che lo separano dalla
tartaruga, man mano che quest’ultima procede dalla sua
posizione di partenza, pertanto i sensi sono ingannevoli e
il movimento dei corpi è impossibile. |
Soluzione
classica
La soluzione più
comune di questo paradosso analizza la somma degli infiniti spazi
percorsi da Achille. Supponendo, infatti, che Achille abbia concesso
alla tartaruga un vantaggio pari a d e che proceda ad una
velocità s volte maggiore rispetto alla tartaruga,
quest’ultima, mentre Achille percorre il primo tratto d si troverà
avvantaggiata di un tratto pari a
 ,
ma quando Achille avrà percorso questo tratto, la tartaruga si
troverà avvantaggiata di un tratto pari a
 .
Pertanto considerando i primi n spazi percorsi da Achille, essi
saranno pari a:  e costituiscono una progressione geometrica avente per
primo termine d e ragione
essendo s>1
e q < 1, la somma dei suoi infiniti termini converge
 e 
Video Achille e la tartaruga
Osservazioni
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Zenone si
può considerare un critico della matematica pitagorica
e uno scopritore delle difficoltà alle quali va incontro il
tentativo di introdurre il concetto di infinito;
-
Zenone,
nella dimostrazione della”gara tra Achille e la tartaruga”, non
rispondente alla realtà,(Achille raggiungerebbe ben presto la
tartaruga), utilizza il modello matematico di
divisibilità infinita dello spazio, per cui il paradosso deriva
dal fatto che egli utilizza un modello discreto, a stati
successivi, per un fenomeno che si svolge nella continuità del
tempo: il moto dei corpi;
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l’utilizzo
di un modello matematico inadatto a risolvere un determinato
problema può portare a delle soluzioni che contrastano con la
realtà dei fatti;
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storicamente
il problema del moto di un corpo è stato all’attenzione
di molti studiosi, ma soltanto grazie al calcolo infinitesimale,
alla cui invenzione furono determinanti i contributi di Newton
e di Leibiniz, che si costruirono modelli
matematici in grado di descrivere quantitativamente l’evoluzione
dei fenomeni nel tempo.
Soluzione quantistica
La meccanica
quantistica è basata sul principio di indeterminazione di
Heisemberg: tanto più precisa è la misura di una
grandezza, tanto meno lo sarà la misura della grandezza
complementare.
Secondo tale concezione la distanza tra Achille e la tartaruga,
inizialmente di 10 metri, diminuisce rapidamente fino ad annullarsi,
pertanto non ha senso considerare l’intervallo temporale che
corrisponde a questa distanza: l’inseguitore ha raggiunto il suo
obiettivo.
In definitiva anche se Achille raggiunge la tartaruga, questo non
smentisce completamente Zenone, il quale voleva dimostrare che il
movimento non esisteva.
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