Determinante

Determinante

Cauchy Il termine determinante fu introdotto da Gauss, ma fu Cauchy nel 1812 a formularne le proprietà. Il determinante è una funzione che associa ad ogni matrice un numero reale.
Vi sono vari metodi per calcolare il valore della funzione determinante. La regola fondamentale per calcolare il determinante di una matrice quadrata è espressa dal primo teorema di Laplace: il determinante di una matrice quadrata di ordine n>1 è rappresentato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga/colonna moltiplicati per i rispettivi complementi algebrici.

Osservazioni:

ll minore complementare M_ik dell’elemento a_ik della matrice A di ordine n è il determinante di ordine n-1 ottenuto sopprimendo la riga i-esima e la k-esima colonna.

il complemento algebrico di a_ikè il minore complementare dell’elemento a_ikdella matrice A di ordine n, preceduto dal segno + o dal segno – a seconda che a_ikè di classe pari o dispari.

Casi particolari dei determinanti

se la matrice di ordine 1 il determinante è il numero stesso;
se la matrice quadrata è di ordine 2 il determinante si ottiene sottraendo al prodotto degli elementi della diagonale principale il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.

se la matrice quadrata è del terzo ordine il determinante si calcola con la regola di Sarrus, che consiste nel riportare a destra della matrice le prime due colonne e nel sommare i prodotti degli elementi della diagonale principale e delle due sue parallele, diminuite dalla somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria e delle sue parallele.

Proprietà dei determinanti

Osservazione:

Una matrice quadrata non singolare con determinante diverso da 0 ed è invertibile e la matrice inversa è:

dove A* è la matrice aggiunta, ossia la matrice trasposta della matrice formata dai complementi algebrici di A.

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