Scomporre un polinomio in fattori, significa scriverlo come prodotto di altri polinomi di grado inferiore.

Tenuto conto che l'uguaglianza fra numeri, ma anche fra polinomi, è una relazione di equivalenza e quindi gode della proprietà simmetrica, risultano immediate le seguenti scomposizioni.

Analizzando lo sviluppo di particolari moltiplicazioni possiamo dedurre tecniche per scomporre in fattori un polinomio.

Consideriamo la moltiplicazione di un monomio per un polinomio.

Per esempio calcoliamo il seguente prodotto:

Sempre in virtù della proprietà simmetrica di cui gode al relazione di uguaglianza possiamo affermare che

Quale procedimento, però, ci permette di trasformare il polinomio già sviluppato in prodotto di fattori?

Osserviamo che il fattore 2m³z², che sarà poi messo in evidenza, altri non è che il massimo comune divisore dei due monomi che compongono il binomio sviluppo. Quindi per effettuare questo tipo di scomposizione basta cercare il MCD fra i termini del polinomio da fattorizzare.

Tenuto conto dell'esempio precedente enunciamo la seguente regola.

Regola 1 (per la messa in evidenza a fattore comune o raccoglimento totale)
Dato il polinomio P₁ + P₂ + ... P_n, possiamo scrivere

P₁ + P₂ + ... P_n = MCD(P₁, P₂, ..., P_n) · (Q₁ + Q₂ + ... Q_n)

dove i monomi Q_i sono il risultato delle divisioni fra i monomi P_i e il Massimo Comune Divisore di tutti i P_i.

Chiaramente la precedente regola è utile solo se il Massimo Comune Divisore è diverso da 1, e si applica anche se i fattori comuni sono polinomi.

Per esempio il polinomio

si può scomporre mettendo in evidenza il polinomio (3ab +1), scrivendo perciò:

La regola enunciata non ci permette, però,di scomporre un polinomio qualsiasi.

Vediamo un altro esempio. Vogliamo scomporre il polinomio

Poiché il MCD tra i termini di tale polinomio è 1, non è utile effettuare un raccoglimento totale. Osserviamo invece che possiamo mettere in evidenza due distinti fattori

Osserviamo che adesso abbiamo ottenuto un fattore comune e possiamo perciò scrivere

Il metodo qui illustrato è detto raccoglimento a fattore comune parziale, e può, talvolta, essere usato quando non risulta possibile effettuare un raccoglimento totale.

Non sempre raccogliere parzialmente permette la scomposizione.

Per esempio nel polinomio

si può raccogliere parzialmente solo nel modo seguente

che non può però scomporsi, non avendo evidenziato alcun fattore comune.

Consideriamo ora prodotti di binomi che creano dei particolari trinomi.

Sviluppiamo la seguente moltiplicazione:

Osserviamo che abbiamo ottenuto un trinomio del tipo x² + sx +p, in cui il coefficiente s è la somma algebrica dei termini noti dei binomi fattori, 4 + (– 3), il coefficiente p è il prodotto degli stessi termini noti, 4 × (–3).

Definizione
Il polinomio x² + sx + p, in cui x è una lettera qualsiasi, s e p sono numeri interi diversi da zero, si chiama trinomio particolare di secondo grado.

Enunciamo la seguente regola.

Regola 2 (di scomposizione del trinomio particolare di secondo grado)
Il trinomio particolare x² + sx + p, si scompone nel prodotto (x + c) × (x + d), se e solo se i numeri c e d verificano le seguenti due proprietà:

- c + d = s;

- c × d = p.

Per esempio il trinomio

si può scomporre utilizzando la Regola 2, perché si ha:

11 = 2 + 9 e 18 = 2 × 9

Quindi

Non tutti i trinomi di secondo grado si scompongono nell'insieme dei numeri interi.

Il trinomio

non si scompone negli interi, perché le uniche coppie di numeri interi che moltiplicate fra loro danno 5 sono (1, 5) e ( –1, –5). Ma nessuna di queste coppie ha somma 7, infatti

1 + 5 = 6 e –1 + ( –5) = –6.

È a questo punto evidente che anche il teorema di Ruffini può venirci in aiuto quando dobbiamo scomporre un polinomio.

Scomporre il polinomio

È facile vedere che nessuno dei metodi visti finora risulta utile allo scopo. Se però riuscissimo a determinare un numero intero z che annulla il polinomio P(a), per il Corollario 1 del Teorema del resto, potremmo affermare che il polinomio P(a) è divisibile per il binomio (a – z). In altri termini sarà possibile scomporre P(a) nel prodotto di (a – z) per un polinomio di grado uno in meno rispetto a quello di P(a).

Il problema è quindi ricondotto alla ricerca degli eventuali valori che annullano il polinomio. Osserviamo inoltre che nel caso non riuscissimo a determinare tali valori, non potremmo affermare con certezza che il polinomio non è scomponibile.

Per risolvere il problema posto dal precedente esempio ci viene in aiuto il seguente importantissimo teorema.

Teorema 5
Dato un polinomio nella variabile x a coefficienti interi e di grado n, esso è divisibile per il binomio (x – a), con a numero intero, solo se a è un divisore del termine noto del polinomio stesso.

Il precedente teorema è valido solo per i numeri interi, quindi ci permette di determinare i possibili binomi divisori del polinomio a coefficienti interi, ma non ci permette di determinare tutti i suoi divisori, cioè non ci permette di scomporre qualsiasi polinomio in un insieme qualsiasi.

I divisori del termine noto del polinomio

cioè del numero 6, sono

–1, 1, –2, 2, –3, 3, –6, 6

Quindi basta effettuare al massimo 8 verifiche per stabilire se il polinomio sia o no scomponibile in Z.

Vediamo:

· per a= –1, si ha: p( –1) = ( –1)3 – 2 × ( –1)2 – 5 × ( –1) + 6 = –1 – 2 + 5 + 6 ? 0

· per a= 1, si ha: p(1) = 13 – 2 × 12 – 5 × 1 + 6 = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

Abbiamo trovato un numero che annulla il polinomio, possiamo perciò scomporre il polinomio con la regola di Ruffini:

Possiamo perciò scrivere:

Adesso possiamo continuare a scomporre procedendo con uno dei due metodi seguenti:

considerando il trinomio in parentesi come trinomio particolare di II grado, cercando quindi due numeri interi il cui prodotto sia –6 e la cui somma sia –1. I numeri cercati sono –3 e 2, quindi la scomposizione finale è

continuando a verificare quali degli otto numeri elencati inizialmente annullano il polinomio. Poiché P(–2) = 0 e P(3) = 0, –2 e 3 sono altri due zeri di P(a). Poi, dal momento che moltiplicando tre binomi di primo grado si ottiene un polinomio di terzo grado possiamo scrivere la precedente scomposizione finale, senza ricorrere ad ulteriori verifiche.