La divisione fra un polinomio di grado qualsiasi per un polinomio di primo grado, entrambi nella stessa variabile, si può rendere più semplice. Vediamo come.

Effettuiamo la seguente divisione

Osserviamo che:

· il quoziente è un polinomio di terzo grado (un grado in meno di quello del polinomio dividendo), quindi già prima di fare la divisione sappiamo che il polinomio quoziente sarà del tipo ax³ + bx² + cx + d, con a, b, c e d coefficienti da determinare.

· in ogni passo facciamo esattamente due moltiplicazioni, dato che il divisore è un binomio;

· in ogni passo quando effettuiamo l'addizione, il primo addendo, si annulla sempre;

· in ogni passo il coefficiente del primo termine che non si annulla è il coefficiente del successivo termine del quoziente, se è possibile proseguire la divisione.

Proprio l'ultima osservazione ci permette di schematizzare la divisione nel modo seguente.

Riprendiamo lo schema della divisione precedente scrivendo solo i coefficienti, escludendo quelli che in ogni passo si annullano, quindi sicuramente sempre il primo.

Abbiamo indicato con il simbolo áNñ i coefficienti del quoziente, con ë64û il resto.

Possiamo semplificare ulteriormente questo schema nel modo seguente:

Come si nota i numeri dell'ultima riga sono, a parte l'ultimo, i coefficienti ordinati del quoziente. L'ultimo è invece il resto. lo schema è stato costruito in questo semplice modo.

· Nella prima riga abbiamo scritto i coefficienti del polinomio dividendo ordinato e completo, separando con una linea verticale il termine noto dagli altri coefficienti;

· il primo numero della seconda riga, 2, è l'opposto del termine noto del polinomio divisore. Nello schema della divisione abbiamo infatti cambiato il segno ai prodotti eseguiti: scrivendo l'opposto del termine noto del polinomio divisore evitiamo questo cambio di segno volta per volta;

· i numeri della seconda riga, escluso il primo, si ottengono moltiplicando i numeri della terza riga per 2;

· i numeri della terza riga si ottengono: il primo riscrivendo semplicemente il primo coefficiente del polinomio dividendo (4), poi sommando i numeri della prima e seconda riga.

La precedente regola, detta di Ruffini, si applica solo alle divisioni di polinomi in cui il divisore sia un binomio del tipo x + p, con x lettera qualsiasi e p un numero.

Non possiamo perciò applicarla alla divisione

Se vogliamo applicarla dobbiamo ricondurre il polinomio divisore alla forma m + p; perciò dividiamo i coefficienti del polinomio dividendo e del polinomio divisore per 2.

Eseguiamo questa divisione con la regola di Ruffini.

Il quoziente dovrebbe essere il polinomio

;

il resto invece

.

Verifichiamo se quanto ipotizzato è corretto.

Il polinomio ottenuto differisce dal polinomio dividendo di partenza nel termine noto.

Per capire cosa è successo clicca sul seguente pulsante.

L'esempio precedente ci suggerisce il seguente risultato.

Teorema 3
Se la divisione P(x) : (ax – b) ha quoziente Q(x) e resto R, la divisione [P(x)/a : (x – b/a)] ha quoziente Q(x) e resto R × a.

Valgono anche le seguenti proprietà.

Teorema 4 (del resto o di Ruffini)
Il resto della divisione P(x) : (x – a) , con P(x) polinomio nell'unica variabile x, è uguale a P(a).

Corollario 1
Condizione necessaria e sufficiente affinché il polinomio in una sola variabile P(x) sia divisibile per il binomio (x – a) è che si abbia P(a) = 0.