Definizioni
Spesso nella vita di ogni giorno si ha a che fare con il raggruppamento di oggetti che in qualche modo hanno qualcosa in comune, per esempio nella costituzione di un club di appassionati di un cantante o di una squadra di calcio. Anche in Matematica si fanno operazioni di questo genere, raggruppando, collezionando, mettendo insieme oggetti che in qualche modo hanno qualcosa che li accomuna che cioè verificano una certa proprietà. La raccolta di questi oggetti di qualunque tipo (numeri, animali, persone, cose, ...), la chiameremo insieme. Gli oggetti che fanno parte dell'insieme li chiameremo elementi ed imporremo che siano tutti diversi fra di loro.

Il fatto di considerare l'insieme come un ente primitivo, quindi senza una vera definizione, non ci impedisce di precisare alcune cose riguardanti la sua esistenza. Esso esiste quando si nominano tutti i suoi elementi, o quando si enunciano le proprietà che essi verificano. In quest' ultimo caso imponiamo che tali proprietà debbano essere espresse in maniera non equivoca e chiara, debbano essere cioè degli enunciati logici.

Non possiamo parlare dell'insieme degli esercizi di matematica facili, né dell' insieme degli attori bravi, poiché ognuno di questi concetti è legato al singolo soggetto, dipende cioè da un' opinione personale.

Così come non ha senso parlare dell'insieme delle ullule che strerlatano finché non abbiamo definito coerentemente cosa sono le ullule e che cosa significhi strerlatare

Gli insiemi saranno indicati con un nome arbitrario, di solito con le lettere maiuscole dell'alfabeto. I suoi elementi saranno invece indicati genericamente con lettere minuscole.

Rappresentazione mediante elenco

In questo modo scriviamo tutti gli elementi alla destra del nome dell'insieme dopo il segno di uguale e fra parentesi graffe. L' ordine in cui sono scritti gli elementi non è importante.

Possiamo rappresentare per elenco l' insieme delle vocali dell' alfabeto italiano, nel seguente modo

A = {a, e, i, o, u}

In questo caso le lettere a, e, i, o, u non rappresentano generici elementi dell' insieme ma specifici elementi.

Per dire che un elemento x fa parte dell'insieme X scriveremo x Î X.

Quindi con riferimento all'insieme A delle vocali scriveremo ad esempio a Î A.

Per dire che un elemento x NON fa parte dell'insieme X scriveremo x Ï X.

Sempre riferendoci all'insieme A delle vocali, scriveremo ad esempio b Ï A.

Possiamo rappresentare per elenco l' insieme delle dieci cifre del sistema decimale  nel seguente modo:

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Anche se abbiamo ordinato sia gli elementi di A che quelli di B, non è necessario farlo, avremmo anche potuto scrivere

A = {a, i, u, o} , B = {5, 1, 8, 3, 0, 4, 6, 9, 7, 2}

o utilizzando un qualsiasi altro ordine.

Rappresentazione mediante diagrammi di Eulero Venn

Si ottiene mettendo gli elementi di un insieme, indicati con dei punti, all'interno di una linea chiusa, di solito un cerchio.

Di seguito sono raffigurati tre insiemi rappresentati mediante i diagrammi di Eulero Venn. Essi sono rispettivamente: l' insieme dei primi 7 numeri dispari, l' insieme delle lettere che compongono la parola carte e l' insieme dei nomi delle sorelle di Mattia.

La precedente rappresentazione è comoda da usare solo quando gli insiemi non hanno molti elementi. Non risulta comoda per esempio per un insieme di 100 elementi o per  un insieme infinito, come per esempio l'insieme di tutti i numeri pari. Ma in quest'ultimo caso neanche la rappresentazione per elenco è una buona rappresentazione.

Rappresentazione mediante proprietà caratteristica

Diciamo che un insieme si rappresenta mediante una sua proprietà caratteristica, se indichiamo una legge che genera tutti e soli i suoi elementi, o se specifichiamo una proprietà che li accomuna.

Per esempio possiamo scrivere

A = {numeri naturali minori o uguali a 1234}

che è un modo molto più comodo rispetto a quello di  scrivere i primi 1235 numeri naturali. In questo caso particolare possiamo usare, però, una particolare rappresentazione per elenco, scrivendo:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 1233, 1234}

Naturalmente così scrivendo intendiamo che tutti i numeri verificano la proprietà che "sembra esserci", in questo caso appunto tutti i numeri naturali da 0 a 1234 compresi. Non possiamo scrivere in questo modo l'insieme precedente privo dei numeri 456 e 1002.

Proprio per evitare queste eccezioni, la rappresentazione mediante proprietà caratteristica è migliore. In questo caso possiamo anche usare un'ulteriore rappresentazione simbolica, usando, per insiemi i cui elementi sono numeri, i simboli matematici. Così potremmo scrivere sempre l'insieme precedente  nel modo seguente:

Precisiamo che la proprietà che lega più oggetti di un insieme non è sempre unica, per esempio possiamo indicare lo stesso insieme A  anche nei seguenti modi:

In alcuni casi la proprietà è molto complicata da individuare. Per esempio, quale proprietà è verificata dagli elementi dell'insieme

X = {12, 34, 54, 65, 67, 89}?

Non riusciamo a trovare una semplice proprietà migliore dell'elenco.

Invece nel caso dell' insieme

F = {3, 5, 7}

abbiamo abbondanza di proprietà caratteristiche. Infatti possiamo indicarlo come

l' insieme dei primi tre numeri dispari maggiori di 1

ma anche come

l' insieme dei primi tre numeri primi dispari.

e in vari altri modi.

Poniamo adesso qualche definizione relativa soprattutto alla terminologia.

Quindi per l'insieme A = {1, 3, 5, 6, 23, 45}, abbiamo |A|= 6.

L'insieme delle frazioni positive e minori di 1 (le cosiddette frazioni proprie) è infinito, dato che tali frazioni sono tutte quelle il cui numeratore è minore del denominatore. E poiché possiamo fissare infiniti diversi numeratori e denominatori, le frazioni saranno infinite. La cardinalità degli insiemi infiniti è un argomento impegnativo che non tratteremo.