Sottoinsiemi
Abbiamo già visto che una delle tre possibilità di rappresentare due insiemi con i diagrammi di Eulero Venn, riguarda il caso in cui uno dei due insiemi sia una parte dell'altro. Definiamo meglio questo importante concetto.
Definizione Diciamo che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B, o anche che A è contenuto in B, se per ogni elemento a Î A si ha anche a Î B. Per indicare che A è un sottoinsieme di B, si scrive A Í B o anche B Ê A. Si dicono sottoinsiemi impropri o banali di A l'insieme vuoto e l'insieme A stesso. Chiameremo sottoinsieme proprio di A ogni sottoinsieme non banale di A. Se vogliamo evidenziare che A è un sottoinsieme proprio di B scriviamo A Ì B. |
Tenuto conto della rappresentazione grafica di due insiemi, uno dei quali contenuto nell'altro, possiamo enunciare il seguente risultato.
TEOREMA 6 Se si ha A Í B, allora valgono le seguenti uguaglianze.
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Con tutti i sottoinsiemi di un insieme possiamo costruire un altro importante insieme.
Definizione Diciamo insieme delle parti di un insieme A, l'insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A. Indichiamo con il simbolo P(A) l’insieme delle parti di A. |
Per esempio se A = {1, 2, 3}, A ha per sottoinsiemi
l'insieme vuoto: Æ;
gli insiemi formati da un elemento: {1},{2}, {3};
gli insiemi formati da due elementi: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3};
l'insieme A stesso: {1, 2, 3}.
Abbiamo ottenuto quindi un totale di 8 sottoinsiemi. L'insieme delle parti di A è perciò
P(A) = { Æ, {1},{2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Si dimostra anche un importante risultato che lega il numero di elementi di un insieme finito al numero dei suoi sottoinsiemi.
TEOREMA 7 Dato un insieme finito A, si ha: |P(A)| = 2|A|. |
Dato un insieme A, possiamo dividerlo in due parti semplicemente scegliendo alcuni suoi elementi con cui formare un insieme e formando un altro insieme con tutti gli elementi rimanenti. Anche in questo caso poniamo una definizione.
Definizione Dati due insiemi A e B, entrambi non vuoti, con A Í B, diciamo complementare di A rispetto a B l'insieme C = B \ A. Il complementare di A rispetto a B si indica con C(A)B. |
Dato A = {1, 2, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, possiamo dire che il complementare di A rispetto a B è l'insieme C(A)B = B \ A = {3, 4, 6}, insieme che serve appunto a completare B mediante A.
Se invece fosse A = {1, 2, 5, 7} non possiamo considerare C(A)B perché A non è un sottoinsieme di B.
Anche in questo caso valgono importanti risultati.
TEOREMA 8 (I legge di De Morgan) Qualunque siano gli insiemi A e B contenuti in uno stesso insieme ambiente X, vale la seguente identità: C(A È B)X = C(A)X Ç C(B)X TEOREMA 9 (II legge di De Morgan) Qualunque siano gli insiemi A e B contenuti in uno stesso insieme ambiente X, vale la seguente identità: C(A Ç B)X = C(A)X È C(B)X |
