Risoluzioni delle disequazioni

Per la risoluzione di una disequazione di primo grado in una incognita basta tener conto di quanto già visto sulla risoluzione delle equazioni di primo grado e delle proprietà 6. e 7. qui enunciate.

Infatti, una generica disequazione di primo grado in una incognita, ridotta in forma semplificata, si scrive in uno dei seguenti modi:

ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ³ 0; ax + b ≤ 0

dove a e b sono i coefficienti e x è l'incognita.

Prima di chiederci qual è il significato di ciascuna delle precedenti scritture, risolviamo una disequazione di primo grado in un modo del tutto formale, come mostrato nell'animazione seguente.

Grazie all’esempio precedente, possiamo dire che la regola di trasporto di un addendo da un membro all'altro può enunciarsi anche per le disequazioni; mentre la regola di trasporto di un fattore da un membro all'altro della disequazione, deve essere modificata nel modo seguente.

Dopo aver notato l'estrema semplicità di procedimento per la risoluzione di una disequazione di primo grado a un'incognita, chiediamoci cosa significhi tale soluzione.

Facilmente si trova che la soluzione della disequazione x – 2 > 0 è x > 2. La ricerca di tale soluzione equivale a rispondere alla domanda:

Quali numeri reali x fanno divenire positiva (maggiore di zero) l'espressione x – 2?

La risposta x > 2  significa che i numeri che cerchiamo sono tutti quelli maggiori di 2, quindi le soluzioni sono infinite.

Ecco una prima sostanziale differenza fra una disequazione algebrica di primo grado e un'equazione algebrica di primo grado.

Un'equazione di primo grado a un'incognita ammette una sola soluzione, una disequazione di primo grado ne ammette in generale infinite.

Chiediamoci adesso cosa intendiamo con la proposizione  x – 2 ³ 0, e valutiamone, poi, la differenza di significato con la proposizione x – 2 > 0.

Nel secondo caso vogliamo sapere quando l'espressione risulta positiva, nel primo caso quando essa risulta positiva o nulla, ossia quando non risulta negativa; quindi la differenza fondamentale consiste nel fatto che x = 2  fa parte dell'insieme delle soluzioni del primo caso ma non di quello del secondo.

Così se in un concorso si accettano candidati che all'esame di stato hanno ottenuto una votazione non inferiore a 80, vuol dire che il voto v, deve appartenere all'insieme soluzione della disequazione v ³ 80; pertanto sia Gianni che ha conseguito 80, sia Tommaso che ha conseguito 84 possono partecipare, non può partecipare Maria che ha conseguito 79. Se invece la richiesta è che la votazione sia superiore a 80, la disequazione da risolvere è v > 80, quindi in questo caso Gianni non può più partecipare al concorso.