Il concetto di essere maggiore o minore di, permette di ordinare gli elementi di un
insieme. Possiamo per esempio ordinare le squadre partecipanti a un campionato
di calcio, utilizzando i punti da esse conseguiti; possiamo ordinare un gruppo
di ragazzi secondo letà o secondo l' altezza o il peso o in
decine di altri modi, in genere diversi tra loro. Stabiliamo allora quali
proprietà verificano le disuguaglianze.
1.x < xÙx > x sono entrambe false qualunque sia xÎR (proprietà antiriflessiva);
2.x < yÞy > x oppure x > yÞy < x, quali che siano i numeri reali distinti x e y (proprietà antisimmetrica);
3.x
< y Ù y < z Þx < z oppure x > y Ù y > z Þx > z (proprietà
transitiva).
Infatti ogninumero
è uguala a se stesso, né minore e né maggiore di se stesso.
Ovviamente se il numero x è maggiore del
numero y non può essere vero il contrario. Se la squadra A precede in
classifica la squadra B, ovviamente la B non può precedere la A. Infine se un certo numero è minore di un secondo
numero, che è a sua volta minore di un terzo numero, ovviamente il primo numero
sarà a maggior ragione minore del terzo. Se la squadra A precede in classifica la
squadra B, e questa precede la C, ovviamente la squadra A precederà la squadra C.
Nel caso particolare in cui
consideriamo le disuguaglianze fra numeri reali, vale anche un'altra
interessante proprietà.
4. x > yÞ–x < –y oppure x < yÞ–x > –y, qualunque siano i numeri reali x e y.
Infatti cambiare il segno ad
un numero significa effettuarne la simmetria rispetto allo zero, così ovviamente
5 > 4, vuol dire che il numero 5 è più lontano da 0 di quanto non lo sia il 4,
moltiplicando i due numeri per –1 ci limitiamo a scambiarne il verso rispetto
allo 0, così fra –5 e –4, il primo numero è ancora più lontano del secondo dallo
zero, ma avendone cambiato il segno abbiamo anche cambiato l'ordine.
Oltre a quelle appena
enunciate sono verificate anche le ulteriori seguenti proprietà di facile
comprensione.
5.x > y Û x + z > y + z, " zÎ ℝoppure x < y Û x + z < y + z, " zÎR.
6.x > y Û x × z > y × z, " z > 0 oppure x < y Û x × z < y × z, " z > 0.
7.x > y Û x × z < y × z, " z < 0
oppure x < y Û x × z > y × z, " z < 0.ave; più pesante di un oggetto B,
chiaramente 5 oggetti A saranno più pesanti di 5 oggetti B. Mentre, per quanto già detto, moltiplicando per
una quantità negativa invertiremo l'ordine.
Concludiamo con altre due proprietà.
8.x > y Ù
z > t Þ
x + z > y + t
oppure x < y Ù
z < t Þ
x + z < y + t.
9. oppure .
Anche in questo caso le proprietà si comprendono
facilmente. Infatti se sommiamo due quantità maggiori di altre due quantità,
ovviamente la prima somma è maggiore della seconda. Se Camilla ha in tasca più
euro di Tommaso e Linda ha più euro di Matteo, ovviamente Camilla e Linda hanno
insieme più euro di quel che hanno Tomasso e Matteo insieme.
Dato che 5 > 3 ovviamente 1/5 < 1/3. In
particolare se x e y sono numeri interi positivi è ovvio che se dobbiamo
dividere una torta in parti uguali fra gli invitati, all'aumentare del numero di
invitati (x > y) diminuisce la porzione di torta loro spettante (1/x < 1/y).
oppure 