La spirale logaritmica, descritta per la prima volta nel 1638 da Cartesio, è la traiettoria di un punto che si muove di moto uniformemente accelerato su una semiretta, la quale ruota uniformemente intorno alla sua origine. Il passo della spira, ossia la distanza tra le spire, a differenza della spirale di Archimede, non è costante.

Il matematico svizzero Jakob Bernoulli (1654 – 1705) definì la curva “Spira mirabilis”, la spirale meravigliosa, disponendo che essa fosse incisa sull’epitaffio accanto alla frase “Eadem mutata resurgo”, ovvero "sebbene diversa, rinasco identica" ad indicare l’immortalità dell’anima, che sopravvive nonostante la fine della vita; sfortunatamente lo scalpellino incise sulla lapide del matematico, a Basilea, una spirale archimedea.
La spirale logaritmica è definita anche proporzionale: ogni raggio vettore sarà più ampio del precedente secondo una progressione geometrica, facendo sì che la curva crescendo non cambi forma. La spirale proporzionale non raggiunge mai il polo, poiché il centro della spirale è un punto asintotico: proseguendo l’ingrandimento verso il centro, si ritrovano infinite spirali identiche in scala ridotta; allontanandosi sempre di più dall’origine, aumentano le dimensioni della spirale, ma essa è sempre somigliante a se stessa. L’aggettivo “meravigliosa” di Bernoulli si riferisce proprio al fatto che la curva esegue infinite evoluzioni verso e dal suo polo, ossia è autosimile.

Proprietà

1) Per ogni punto sulla spirale logaritmica è costante l’angolo tra la tangente alla curva in quel punto ed il raggio vettore.	2) L’angolo che la spirale forma con i cerchi centrati nell’origine (l’angolo di inclinazione) è costante. Per questo motivo il matematico francese Pierre Varignon (1654 - 1722) la chiamò spirale equiangolare.
3) Il luogo dei centri di curvatura della spirale logaritmica è detto evoluta della curva. Bernoulli scoprì che tale evoluta è ancora una spirale logaritmica.	4) La spirale logaritmica è una figura autosimile e può essere considerata un frattale. Pertanto essa può essere ottenuta considerando come figura di partenza un punto, posto ad una certa distanza dall'origine ,al quale viene applicata una omotetia con rapporto K< 1 ed una rotazione.
5) Sia xOy un sistema di coordinate polari tali che dove r è la distanza di un punto generico P dall’origine degli assi (considerato come polo della spirale), e q è l’angolo che indica l’inclinazione di OP rispetto all’asse polare (il semiasse positivo delle ascisse) l’equazione della spirale mirabile:	Osservazioni: esplicitando nell'equazione l’angolo θ si evidenzia il significato di “logaritmica”; essendo il polo un punto asintotico, risulta il parametro a modifica le dimensioni della spirale; il parametro b indica la direzione lungo cui si avvolge; per la velocità di crescita della spirale logaritmica è lenta ed essa può ricondursi alla spirale di Archimede.