MISURA DEI SEGMENTI

Definizione  
 

Due segmenti x e u si dicono:

  • commensurabili tra loro quando esiste un sottomultiplo di u che è contenuto esattamente un numero intero di volte in x;

  • incommensurabili tra loro quando non esiste alcun sottomultiplo di u che sia contenuto esattamente un numero intero di volte in x.

Quando due segmenti a e u sono commensurabili vale la seguente definizione.

Definizione



Se a e u sono due segmenti fra loro commensurabili, si chiama misura di a rispetto a u, preso come unità di misura, il numero razionale positivo o nulloper il quale risulta.


Nel caso di due segmenti a e u che siano fra loro incommensurabili, vale la seguente definizione.

Definizione



Si chiama misura di un segmento a incommensurabile con l'unità di misura u il numero irrazionale positivo individuato dalle due classi numeriche che contengono, rispettivamente, le misure approssimate per difetto e per eccesso di a rispetto a u.


Diremo allora che, fissata l'unità di misura, ogni segmento ha una sua misura, che è un numero razionale non negativo se il segmento è commensurabile con l'unità di misura, mentre è un numero irrazionale positivo nel caso sia incommensurabile.

Sia CD commensurabile con AB.
Per misurare il segmento CD, fissata l'unità di misura u, si prende il compasso con apertura AB, si punta in C e si interseca il segmento AB in E; con la stessa apertura si punta in E e si interseca CD in F e così via. Poiché i due segmenti sono commensurabili, si troverà un'ultima circonferenza che interseca CD proprio nel punto D. La misura di CD rispetto ad AB è data dal numero di circonferenze tracciate, ovvero dal numero di volte che il segmento CD contiene AB.





Quando l'unità di misura scelta e il segmento da misurare sono incommensurabili si verifica la situazione della figura seguente.

E' importante notare che nessun sottomultiplo di u consentirà di costruire un numero intero di circonferenze che intersecano CD secondo la costruzione illustrata nel caso precedente. In questo consiste il significato di incommensurabilità.

In questi casi non resta che cercare la misura approssimata, per eccesso o per difetto, del segmento dato. Per costruire la successione delle approssimazioni occorre creare dei sottomultipli dell'unità di misura. Possiamo procedere semplicemente dividendo a metà il segmento AB e, se non basta, dividendo ulteriormente tale segmento applicando la costruzione.




COSTRUZIONE

Facendo doppio click nella finestra seguente, si apre il foglio completo in GeoGebra.

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

Occorre ricordare che, quando la misura viene condotta con uno strumento informatico, i valori rappresentati sono sempre una approssimazione razionale del risultato esatto. L'aritmetica del computer è una aritmetica finita: con essa si possono rappresentare solo numeri razionali con un numero di cifre decimali limitato.

Per renderci conto di questo fatto è sufficiente provare a eseguire alcuni calcoli con il foglio di calcolo di GeoGebra.
Dopo aver scelto l'opzione Arrotondamento di 15 cifre significative, costruiamo la successione, definita per ricorrenza,e calcoliamo i rapporti. Nella colonna B della figura seguente si nota che talvolta accade che i rapporti calcolati risultino erroneamente identici; infatti:

ma in entrambi i casi GeoGebra fornisce 1.00000008999998; ma viene dato lo stesso risultato 1.00000008999994; ma il risultato calcolato è sempre 1.00000008999990.
Queste incongruenze sono inevitabili e sono generate dalla rappresentazione finita dei numeri nel sistema hardware (non è un difetto del software). Per poter calcolare un più elevato numero di cifre decimali corrette, oltre le 15 tipiche di un processore a 32 bit, è necessario ricorrere ad algoritmi specifici, ovvero a programmi appositamente creati per superare le limitazioni intrinseche dell'unità aritmetico logica del calcolatore.