PRINCIPIO DI CAVALIERI


Definizione



Due solidi che hanno uguale estensione si dicono equivalenti.

Si consideri un parallelepipedo rettangolo formato da un certo numero di fogli di carta, rettangolari, tutti uguali tra loro e sovrapposti esattamente l’uno all’altro (fig. 1).

Facendo scorrere lievemente i fogli l’uno sull’altro si può deformare il parallelepipedo e trasformarlo in un altro parallelepipedo non più retto o anche in un solido con le facce incurvate, pur lasciando in ogni caso invariate la base e l’altezza.



fig. 1


È evidente che i tre solidi, essendo costituiti dallo stesso numero di fogli, sono equivalenti, cioè hanno la stessa estensione. Possiamo così giustificare, intuitivamente, il seguente assioma che costituisce il principio di Cavalieri:

Assioma



Due solidi che si possono collocare in modo che siano equivalenti le loro sezioni con un qualsiasi piano parallelo a un piano fisso sono equivalenti.

Applicando il principio di Cavalieri è possibile dimostrare i seguenti casi notevoli di equivalenza tra solidi.

  1. Prismi con basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti.

  2. Un prisma qualunque è equivalente a un parallelepipedo rettangolo avente altezza uguale e base equivalente.

  3. Un cilindro è equivalente a un prisma avente altezza uguale e base equivalente.

  4. Ogni prisma è equivalente al triplo di una piramide avente base e altezza uguali a quelle del prisma considerato.

  5. Un cono è equivalente a una piramide avente altezza uguale e base equivalente.

  6. Un cono è equivalente alla terza parte di un cilindro avente base e altezza rispettivamente uguali.